jueves, 18 de agosto de 2011

CONCEPTO DE NÚMERO EN LOS PUEBLOS PRIMITIVOS




Medir y contar fueron las primeras actividades matemáticas del hombre primitivo. Haciendo marcas en los troncos de los árboles lograban, estos primitivos pueblos, la medición del tiempo y el conteo del número de animales que poseían; Así surgió la aritmética. El origen del Álgebra es posterior.
Pasaron cientos de siglos para que el hombre alcanzara un concepto abstracto del número, base indispensable para la formulación de la ciencia algebraica.
Las letras no solamente sirven para construir palabras, también se han usado para representar números. Pero esto no sucedió de un momento a otro, fue el resultado de un largo proceso, en la Grecia antigua, Diofanto de Alejandría fue uno de los primeros matemáticos en hacer uso de una notación especial para las expresiones matemáticas. Por ejemplo, en su tratado ARITMÉTICA introdujo el uso de determinadas letras griegas para representar la incógnita de una ecuación y sus potencias.

SÍMBOLOS O PALABRAS

El álgebra es una rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos para efectuar cálculos y resolver problemas.
El lenguaje algebraico es una forma de expresar situaciones usando solo literales y números, relacionados mediante operaciones aritméticas.
El concepto de la cantidad en Álgebra es mucho más amplio que en aritmética.
En aritmética las cantidades se representan por números y éstos expresan valores determinados. Así, 35 se expresa como un solo valor: “treinta y cinco”; para expresar un valor mayor o menor que éste habrá que escribir un número distinto a 35.
En álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así “a” representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede representar 35 o más de 35 o menos de 35, a nuestra elección, aunque conviene advertir que cuando a un problema asignemos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado.

NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN







Los símbolos usados en álgebra para representar las cantidades y poder de esta manera efectuar operaciones son:













  • Literales.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores que son conocidos o que pueden obtenerse directamente; es decir, los datos en un problema se representan por medio de literales y generalmente son las primeras letras del abecedario.






  • Incógnitas.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores matemáticos que se desconocen y que para ser conocidos se deberán efectuarse operaciones matemáticas, generalmente son las últimas letras del abecedario.






  • Variable.- Es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de números, es decir, puede cambiar de cualquier valor. Ejemplo:
y = 2x
y= 2(1) (por lo que x es igual a 1)
y= 2(2) (por lo que x es igual a 2)






Sacamos en conclusión que si le dejamos un valor a x entonces y cambiará. Luego entonces x. y son variables.













  • Coeficiente.- Es el factor numérico de una literal. Ejemplo:
3xy (el coeficiente es 3)












  • Constante.- Es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo, es decir, no puede cambiar de valor. Ejemplo: En el ejemplo anterior cuando se dio la función y=2x de tal manera que si varió “x” entonces también cambiará “y” pero el número 2 se mantiene fijo, entonces es una constante. Π=3.14154926539 es una constante que representa la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro, por lo tanto pi es una constante.






A= bh/2 (área de un triángulo) las literales A,b,h pueden variar, pero el 2 permanece fijo, por lo tanto, 2 es una constante..

LENGUAJE COMÚN Y LENGUAJE ALGEBRAICO




En el lenguaje común o verbal se emplean palabras mientras que en el lenguaje algebraico se emplean letras y símbolos que permiten reducir las proposiciones verbales en proporciones algebraicas muy simples y fáciles de comprender.
Por ejemplo, revisa el siguiente cuadro:











CONCEPTO DE TÉRMINO





Se le llama así a cualquiera de las partes de una expresión algebraica que puede ser una multiplicación o una división de una o varias literales y un coeficiente. En la siguiente expresión algebraica identificamos los términos que existen: -8ab+2c –d+12abd+c, la expresión anterior algebraica tiene cinco términos, no debemos olvidar que ha cada término le corresponde el signo que le antecede (está antes del término).
Dependiendo de la cantidad de términos que tiene una expresión algebraica ésta se llama:






TÉRMINOS SEMEJANTES




Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
Ejemplos:



2a y -5a



-2b y 6b

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES




Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes.
En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los tres casos siguientes:
· Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo.- Se suman los coeficientes poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.
Por ejemplo:





2a + 6a + 3a = 10a





-2b - 7b - 3b = -12b






· Reducción de dos términos semejantes de distinto signo.- Se restan los coeficientes poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.
Por ejemplo:





5a -3a = 2a





-20ab +11ab = -9ab






· Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos.- Se reducen a un solo término todos los positivos, se reducen a un solo término todos los negativos ya los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior.
Por ejemplo:





5a -6a +a -3a = 6a -9a = -3a

VALOR NUMÉRICO









El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas.
Por ejemplo:
Hallar el valor numérico de 3ab para a = 3 y b = 2
3(3)(2) = 18

NOTACIÓN ALGEBRAICA

Además de las letras y números también existen otros elementos llamados signos del álgebra.
· Signos de operación.
· Signos de relación.
· Signos de agrupación.

SIGNOS DE OPERACIÓN

Son aquellos que nos indica una operación.
Signo de la suma.- es +, que se lee más, así a+b se lee “a más b”.
Signo de la resta.- es -, que se lee menos, así a-b se lee “a menos b”.
Signo de multiplicación.- es x, que se lee multiplicado por, así, axb se lee “a multiplicado por b”.
En lugar del signo x suele emplearse un punto entre los factores y también se indica la multiplicación colocando los factores entre paréntesis.
Signo de división.- es /, que se lee dividido entre. Así, a/b se lee:”a dividido entre b”.
Potenciación.- Es el “exponente” que es un número que se escribe en la parte superior derecha de la literal o expresión indicando el número de veces que la literal o expresión que se denomina base se multiplicará por sí misma.
Radicación.- llamado radical y adentro se coloca la expresión a la cual se le va a extraer la raíz.

SIGNOS DE RELACIÓN




Son los que nos permite identificar la relación en la que se encuentran las letras.
· Igualdad (=)
· Mayor que (>)
· Menor que (<)
· Diferente ( es el signo de igual, pero con un guión atravesado)

SIGNOS DE AGRUPACIÓN




















El uso de paréntesis en las expresiones algebraicas sirve para indicar el orden en que deben efectuarse las operaciones. Las operaciones encerradas entre paréntesis se realizan primero.
Estos signos son empleados para que el significado de ciertas expresiones sea claro y así indicar el orden en que las operaciones deben efectuarse, usaremos las siguientes:
· Paréntesis curvo.- ()
· Paréntesis recto.- []
· Paréntesis de llave {}
· Ejemplo: {8x-[5x-(-x+y)+7y]+2y}